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三峡永久船闸陡高边坡开挖的优化设计
摘要：本文针对三峡永久船闸陡高边坡开挖问题，结合条分法，建立了沙太基模型和简化毕肖普模型，对不同开挖角α下最危险滑弧面进行求解，给出了优化目标函数，并且通过搜索得出开挖角α的最优解。在最危险滑弧面的求解过程中，利用了最危险滑弧圆心的分布规律，减小了搜索区域，并通过改变步长等办法提出了优化搜索方案，提高了搜索的效率。
本文还给出了最危险圆弧的存在性及可解性的证明，讨论了当滑弧面不是圆弧时的一般解法，并讨论工程费用对R1和R2敏感性。对所给实例的求解结论：最少工程总费用为692.57万元/米，对应最优开挖角为61.3度。
关键词：简化Bishop法
最危险滑弧面
优化搜索
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问题重述
三峡工程永久船闸是在山体中开挖的既高又陡的深槽(槽中放置船闸)。
其剖面简化如图一, 底宽为S米, 高为H米, 坡角为α(待求)。山体地应力沿高度分布, 且与山体深度成正比, 即山体地应力σ0＝μγH, 其中, 侧压力系数为μ, 山体的容重为γ, 山体的磨擦系数为K, 山体的粘聚力为C。岩体开挖后, 由于重力和地应力释放作用, 边坡可能沿某一圆弧面滑动。为了保证开挖后边坡的稳定, 必须进行加固。已知每千牛顿阻滑力费用为R1, 开挖每立方米岩石费用为R2。
在加固后, 保证边坡稳定的安全系数不低于某一值fs的条件下, 确定总造价最少的最佳开挖坡角α。
（图一：工程开挖剖面图）
实例：底宽S＝300米, 高为H＝170米, 山体的容重为γ＝27千牛顿/每立方米, 稳定安全系数fs＝1.2,
侧压力系数μ＝0.8,
山体的磨擦系数K＝1.2,
对山体进行加固的费用R1＝30元/牛顿米, 开挖的费用R2＝100元/立方米, 粘聚力C＝2MPa。
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问题分析
对应于每一个固定的开挖角α，工程总造价分为开挖费用和加固费用两部分。其中前者要求α越大越好，而后者当然以少加固为优，要求α越小越好。故我们选用总造价为优化目标函数，通过搜索寻求最优解。
由于实例中没给出船闸的长度，并且假设岩体各处力学性质及参数均相等，故我们把实际问题转化为一个平面上的问题来求解，得到的总费用实际是单位长度的开挖费用。由于开挖深槽截面为等腰梯形，故分析加固费用时对所需加固的力矩要乘以2。固定某一开挖角α，通过对滑坡的力学分析，给出安全系数关于圆心的函数关系，进而可以搜索出最小的安全系数。从而求得所需加固费用，加上开挖费用即得此角度下的总工程费用，搜索即可得出结果。在搜索最危险圆弧时，可用瑞典圆弧法，也可用根据实际工程经验的简化方法,对圆心位置进行搜索。具体计算时，对滑面以上部分进行条分，既可用费伦纽司——太沙基模型，也可用简化毕肖普模型求解。
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模型假设
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