课程教学

大纲编号：  1123304   

 

 

南京理工大学

课程教学大纲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

学  院 （系）：      理 学 院    

课  程  名  称：        高等数学    

课  程  学  分：         11学分     

 

 

 

 

一、课程的地位与作用

高等数学课程在高等工科学校的教学计划中是一门重要的基础理论课。它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量专门人才服务的，同时，通过对这门课程的教学，也是为学习其它基础课及多数专业课打下必要的数学基础，为这些课程提供所必需的数学概念、理论、方法和运算技能。作为未来的工程技术或研究人员，也必需通过对这门课程的学习，获得必不可少的数学方面的修养和素质。

 

 

 

 

 

 

 

二、课程的教学目标与基本要求

通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数、极限、连续；2.一元函数微分学及应用；3.一元函数积分学及应用；4.空间解析几何与向量代数；5.多元函数微分学及应用；6.多元函数积分学及应用；7.无穷级数；8.微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为今后学习后继课程及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、探讨研究能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

 

 

 

 

 

 

三、课程内容(重点△，难点★)

1 函数、极限与连续

1.1 函数

1.1.1 集合：集合；区间；邻域

1.1.2 函数：常量与变量；△函数的定义；函数的表示法

1.1.3 △函数的几种特性：有界性；单调性；奇偶性；周期性

1.1.4 ★反函数的定义

1.1.5 初等函数：△基本初等函数的性质及图形；△复合函数；初等函数

1.1.6 双曲函数与反双曲函数

1.1.7 建立简单应用问题中的函数关系式

1.2 数列的极限

1.2.1 数列

1.2.2 △数列极限的定义；收敛数列与发散数列；子数列

1.2.3 △数列的单调有界准则

1.2.4 ★数列极限的性质：有界性；唯一性；保号性

1.3 函数的极限

1.3.1 △自变量趋向无限时函数的极限

1.3.2 △自变量趋向有限时函数的极限

1.3.3 左极限与右极限

1.3.4 ★函数极限的性质

1.3.5 ★函数极限与数列极限的关系

1.4 无穷小量与无穷大量

1.4.1 无穷小量：无穷小量的定义；△无穷小量的性质；无穷小量与极限的关系

1.4.2 无穷大量

1.4.3 △无穷小量与无穷大量的关系

1.5 △极限的四则运算法则

1.6 极限存在准则；两个重要极限

1.6.1 △夹逼准则

1.6.2 △单调有界准则

1.6.3 △两个重要极限

1.7 无穷小的比较

1.7.1 △无穷小量比较的定义

1.7.2 △利用等价无穷小量求极限

1.8 连续函数

1.8.1 △函数的连续性定义,函数在区间上的连续性

1.8.2 △间断点的判别及其分类

1.8.3 连续函的运算与初等函数的连续性：连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数的连续性；★复合函数的连续性；初等函数的连续性.

1.8.4 ★闭区间上连续函数的性质：最大值、最小值定理；有界性定理；△零点定理；△介值定理

2 导数与微分

2.1 导数概念

2.1.1 瞬时速度与切线的一般定义

2.1.2 △导数的定义

2.1.3 左、右导数

2.1.4 导数的几何意义与物理意义

2.1.5 平面曲线的切线与法线

2.1.6 △函数的可导性与连续性的关系

2.2 导数运算法则

2.2.1 △导数的四则运算法则

2.2.2 反函数的导数

2.2.3 △复合函数求导法则

2.2.4 初等函数的求导问题、双曲函数与反双曲函数的导数

2.2.5 高阶导数：△高阶导数的概念；△几个初等函数的n阶导数；莱布尼兹公式

2.2.6 隐函数的导数：△隐函数的导数；对数求导法

2.2.7 △由参数方程所确定函数的导数；相关变化率

2.3 函数的微分

2.3.1 △微分定义

2.3.2 函数可微的充要条件

2.3.3 微分的几何意义

2.3.4 △基本初等函数的微分公式与微分法则

2.3.5 ★复合函数的微分法则：一阶微分形式的不变性

2.4 微分在近似计算中的应用

2.4.1 微分在近似计算中应用

2.4.2 绝对误差与相对误差

3 中值定理与导数的应用

3.1 中值定理

3.1.1 △罗尔定理

3.1.2 △拉格朗日中值定理

3.1.3 ★柯西中值定理

3.1.4 利用拉格朗日中值定理证不等式

3.2 罗必塔法则

3.2.1 △型未定式极限

3.2.2 △型未定式极限

3.2.3 其它未定式极限

3.3 泰勒公式

3.3.1 ★泰勒中值定理

3.3.2 △几个常用的麦克劳林公式

3.3.3 泰勒公式应用

3.4 函数单调性的判定

3.4.1 函数单调性的判别性

3.4.2 利用单调性证明不等式

3.5 函数的极值及其求法

3.5.1 函数极值的概念

3.5.2 △函数取极值的必要条件和充分条件

3.5.3 极值的求法

3.5.4 最大值、最小值问题：函数在闭区间上最大（小）值求法；最大（小）值应用问题

3.6 曲线的凹凸与拐点，函数图形的描绘

3.6.1 曲线凹凸的定义

3.6.2 △曲线凹凸的判定定理

3.6.3 拐点的求法

3.6.4 水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线

3.6.5 函数图形的描绘

3.7 曲率

3.7.1 弧微分的概念

3.7.2 △曲率概念及曲率公式

3.7.3 曲率圆与曲率半径

3.7.4 曲率中心计算公式，两曲线的夹角

3.8 方程的近似解

3.8.1 方程近似解的二分法

3.8.2 方程近似解的切线法

4 不定积分

4.1 不定积分概念与性质

4.1.1 原函数、原函数存在定理

4.1.2 △不定积分的定义

4.1.3 不定积分的几何意义

4.1.4 不定积分的性质

4.1.5 基本积分表

4.2 换元积分法：

4.2.1 △第一类换元积分法

4..2.2 △第二类换元积分法

4.3 分部积分法

4.3.1 △分部积分公式

4.3.2 用分部积分法推导一些积分的递推公式

4.4 几种特殊类型函数的积分

4.4.1 ★有理函数的不定积分

4.4.2 三角函数有理式的不定积分

4.4.3 简单无理函数的不定积分

5 定积分

5.1 定积分的概念

5.1.1 定积分定义引入举例

5.1.2 △定积分的定义

5.1.3 函数f(x)可积的充分条件

5.1.4 △定积分的几何意义

5.1.5 利用定积分定义求极限

5.1.6 △定积分的性质

5.2 微积分基本定理

5.2.1 △积分上限的函数及其导数

5.2.2 原函数存在定理

5.2.3 △牛顿-莱布尼兹公式

5.3 定积分的换元法与分部积分法

5.3.1 △定积分的换元积分法

5.3.2 奇、偶函数在对称区间上的定积分

5.3.3 用换元法证明定积分等式

5.3.4 分段函数与绝对值函数的定积分

5.3.5 周期函数的积分性质

5.3.6 △定积分的分部积分法

5.3.7 关于积分计算的递推公式

5.4 定积分的近似计算

5.4.1 矩形法

5.4.2 梯形法

5.4.3 抛物线法

5.5 广义积分

5.5.1 △无穷限的广义积分

5.5.2 无界函数的广义积分

6 定积分的应用

6.1 定积分在几何上的应用

6.1.1 定积分微元法的思想

6.1.2 △平面图形的面积：在直角坐标系下，定积分计算平面图形面积；在极坐标系下，定积分计算平面图形面积

6.1.3 体积：△旋转体的体积；平行截面面积为已知的立体的体积

6.1.4 平面曲线的弧长：★平面曲线弧长的概念；△曲线为直角坐标方程时，弧长的计算公式；曲线为参数方程时，弧长的计算公式；曲线为极坐标方程时，弧长的计算公式；用定积分求旋转体的侧面积

6.2 定积分在物理上的应用

6.2.1 用定积分计算变力沿直线作的功

6.2.2 用定积分计算水压力

6.2.3 用定积分计算引力

6.3 平均值

6.3.1 函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

6.3.2 函数f(x)在区间[a,b]上的均方根

7 空间解析几何与向量代数

7.1 向量及其线性运算

7.1.1 △向量概念

7.1.2 向量加减法

7.1.3 向量数乘

7.1.4 单位向量

7.1.5 向量的模

7.2 向量的坐标表示

7.2.1 空间直角坐标系

7.2.2 向量在轴上的投影

7.2.3 △向量的坐标表达式

7.2.4 △向量的模与方向余弦的坐标表达式

7.3 数量积、向量积、混合积

7.3.1 △两向量的数量积

7.3.2 △两向量的向量积

7.3.3 ★向量的混合积

7.4 平面及其方程

7.4.1 △点法式方程

7.4.2 一般方程

7.4.3 三点式方程

7.4.4 截距式方程

7.4.5 点到平面的距离

7.5 空间直线及其方程

7.5.1 一般方程

7.5.2 △标准式方程

7.5.3 参数方程

7.5.4 △平面与直线，平面与平面，直线与直线间的交角

7.5.5 △平面、直线相互垂直与平行的条件

7.6 曲面及其方程

7.6.1 曲面方程的概念

7.6.2 △旋转曲面

7.6.3 柱面

7.7 空间曲线及其方程

7.7.1 曲线的一般方程

7.7.2 曲线的参数方程

7.7.3 曲线在坐标面上的投影

7.8 二次曲面

7.8.1 椭球面

7.8.2 抛物面

7.8.3 双曲面

7.8.4 锥面

8 多元函数微分法及其应用

8.1 多元函数的基本概念

8.1.1 邻域

8.1.2 △多元函数的定义

8.1.3 ★多元函数的极限与连续性

8.2 偏导数

8.2.1 △偏导数的定义及计算法

8.2.2 ★高阶偏导数

8.3 全微分及应用

8.3.1 △全微分的定义

8.3.2 ★全微分存在的必要条件与充分条件

8.3.3 在近似计算中的应用

8.4 △复合函数的求导法则

8.5 隐函数的求导法则

8.5.1 △隐函数的偏导数

8.5.2 由方程组确定的隐函数的导数

8.6 微分法在几何上的应用

8.6.1 △空间曲线的切线与法平面

8.6.2 △曲面的切平面与法线.

8.7 方向导数与梯度

8.7.1 △方向导数

8.7.2 梯度

8.8 多元函数的极值及其求法

8.8.1 △多元函数的极值、最大值、最小值

8.8.2 ★条件极值、拉格朗日乘数法

8.9 ★二元函数台劳公式

9 重积分及其应用

9.1 二重积分的概念与性质

9.1.1 △二重积分的概念

9.1.2 二重积分的性质

9.2 二重积分的计算法

9.2.1 △二重积分在直角坐标系中的计算法

9.2.2 △二重积分在极坐标系中的计算法

9.3 三重积分

9.3.1 ★三重积分的概念

9.3.2 △三重积分在直角坐标、柱坐标和球坐标系中的计算法

9.4 重积分的应用

9.4.1 △曲面面积

9.4.2 物理应用

9.5 含参变量积分

10 曲线积分与曲面积分

10.1 对弧长曲线积分

10.1.1 ★对弧长的曲线积分的概念与性质

10.1.2 △对弧长的曲线积分的计算与应用

10.2 对坐标的曲线积分

10.2.1 ★对坐标的曲线积分的概念与性质

10.2.2 △对坐标的曲线积分的计算法

10.2.3 两类线积分间的关系

10.3 格林公式及其应用

10.3.1 △格林（Green）公式

10.3.2 △平面上曲线积分与路径无关的条件

10.3.3 全微分准则、原函数

10.4 对面积的曲面积分

10.4.1 ★对面积的曲面积分的概念与性质

10.4.2 △对面积的曲面积分的计算法

10.5 对坐标的曲面积分

10.5.1 ★对坐标的曲面积分的概念与性质

10.5.2 △对坐标的曲面积分的计算法

10.6 高斯公式与散度

10.6.1 △高斯（Gauss）公式

10.6.2 通量与散度

10.7 斯托克斯公式与旋度

10.7.1 ★斯托克斯（Stokes）公式

10.7.2 环流量与旋度

11 无穷级数

11.1 常数项级数

11.1.1 ★常数项级数的概念与性质

11.1.2 △正项级数的判敛法

11.1.3任意项级数

11.2 广义积分收敛性判别 G-函数

11.2.1 无穷限广义积分收敛性判别

11.2.2 无界函数广义积分收敛性的判别

11.2.3 G-函数

11.3 幂级数

11.3.1 函数项级数的概念

11.3.2 △幂级数及其收敛域

11.3.3 幂级数的运算

11.3.4 △函数展开成幂级数

11.3.5 幂级数的应用

11.4 付立叶级数

11.4.1 三角级数

11.4.5 △函数展开成Fourier级数

12 微分方程

12.1 微分方程的基本概念

12.2 一阶微分方程

12.1.1 △可分离变量方程

12.1.2 齐次方程

12.1.3 △一阶线性方程

12.1.4 全微分方程

12.1.5 一阶方程的近似解法

12.3 可降阶的高阶微分方程

12.3.1 y(n)=f(x)型

12.3.2 型

12.3.3 ★型

12.4 高阶线性方程

12.4.1 ★线性微分方程解的结构

12.4.2 △二阶线性微分方程解的结构

12.5 常系数线性方程

12.5.1 △常系数齐次线性方程通解的求法

12.5.2 ★常系数非齐次线性方程通解的求法

12.5.3 欧拉方程

12.6 微分方程的幂级数解法

12.7 常系数线性微分方程组解法举例

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

四、时间分配

课程分段标识

序

号

教  学  内  容

教学环节（学时）

讲

课

习题

实验

上

机

课

外

小

计

Ⅰ

1

函数, 极限与连续

16

4

 

 

 

20

2

导数与微分

12

2

 

 

 

14

3

中值定理与导数应用

14

2

 

 

 

16

4

不定积分

10

2

 

 

 

12

5

定积分

10

2

 

 

 

12

6

定积分应用

6

2

 

 

 

8

7

向量代数与空间解析几何

12

2

 

 

 

14

Ⅱ

8

多元函数微分学

14

2

 

 

 

16

9

重积分及其应用

12

2

 

 

 

14

10

曲线积分与曲面积分

14

4

 

 

 

18

11

级数

14

2

 

 

 

16

12

微分方程

14

2

 

 

 

16

13

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

总    计

148

28

 

 

 

176

 

五、课程说明

课程英文名称

Advanced Mathematics

主要先修课程

 

适用专业类别

工科、经管（本科四年制）各专业

主要教材（作者、教材名称、出版社）

同济大学数学教研室编.高等数学.第四版.北京:高等教育出版社，1996.12

刘德钦等.高等数学教程. 第二版.北京:兵器工业出版社，2000.6

考核方式

闭卷考试

课程简介

本课程主要内容是函数、极限、函数的连续性，一元函数微积分学，向量代数与空间解析几何，多元函数微积分学，级数和微分方程。通过对这门课程的学习，为学生以后学习其它基础课及专业课打下必要的数学基础，为这些课程提供所必需的数学概念、理论、方法和运算技能。

本课程是一门基础理论课，其概念抽象、说理严密、应用广泛，采取教学方式是以课堂讲授为主，注重启发式教学，采用精讲多练的方法，提高学生的数学素质。本课程考核方式为闭卷考试。

必  开

 

 

实  验

 

 

项  目

序号

项 目 名 称

学时

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

6

 

 

7

 

 

8

 

 

9

 

 

10

 

 

11

 

 

12

 

 

13